Este enunciado es **verdadero**. Si los límites de f(x) y g(x) existen cuando x tiende a a, entonces el límite de la suma de estas funciones también existe y se calcula como la suma de los límites individuales. Esto se basa en la propiedad de la suma de límites....
En otras palabras, si lim f(x) = L y lim g(x) = M, entonces lim = L + M.
Enunciado 2: Si lim f(x) no existe y lim g(x) no existe, entonces lim (f(x) + g(x)) no existe.
Este enunciado es **falso**. El límite de la suma de dos funciones puede existir incluso si los límites de las funciones individuales no existen. Esto puede ocurrir si las funciones individuales tienden a infinito o a un valor no definido de maneras que se "cancelan" mutuamente al sumarlas.
Por ejemplo, si f(x) = 1/x y g(x) = -1/x, entonces lim f(x) y lim g(x) no existen (ambas funciones tienden a infinito cuando x tiende a 0). Sin embargo, lim (f(x) + g(x)) = lim (1/x - 1/x) = lim 0 = 0. El límite de la suma existe, a pesar de que los límites individuales no existen.
Enunciado 3: Si lim f(x) = 0 y lim g(x) = 0 entonces lim (f(x)/g(x)) existe.
Este enunciado es **falso**. Una indeterminación de la forma 0/0 no garantiza la existencia del límite. Aunque el límite de ambas funciones sea 0, la función resultante podría tener un límite que no existe, que puede ser infinito o indeterminado.
Ejemplo: Si f(x) = x y g(x) = x², entonces lim f(x) = 0 y lim g(x) = 0. Sin embargo, lim (f(x)/g(x)) = lim (x/x²) = lim (1/x) que no existe (tiende a infinito cuando x tiende a 0).
Enunciado 4: Toda indeterminación de la forma 0/0 se puede evitar mediante factorización.
Este enunciado es **falso**. Aunque la factorización es una técnica común para resolver indeterminaciones de la forma 0/0, no siempre funciona. Existen indeterminaciones de la forma 0/0 que no se pueden resolver mediante factorización.
Ejemplo: Considere lim (sin(x)/x) cuando x tiende a 0. Esta es una indeterminación de la forma 0/0, pero no se puede resolver mediante factorización. El límite existe y es igual a 1, pero requiere el uso de otras técnicas como la regla de L'Hopital o la serie de Taylor para calcularlo.
En resumen, la factorización es una herramienta útil para resolver algunas indeterminaciones de la forma 0/0, pero no es una solución universal. Existen casos donde la factorización no funciona y se requieren otras técnicas para calcular el límite.